Question

9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥PA；
（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中点F，连结BF、EF，推导出AD⊥平面PAB，从而AD⊥PA，PA⊥EF，再由等边三角形性质得BF⊥PA，由此能证明BE⊥PA．
（Ⅱ）取AB的中点H，则由平面PAB⊥平面ABCD知PH⊥平面ABCD，设点D到平面PAC的距离为d，由V_P-ACD=V_D-PAC，能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连结BF、EF，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴AD⊥PA，
∵EF∥AD，∴PA⊥EF，
∵△PAB为等边三角形，∴BF⊥PA，
又BF∩EF=F，∴PA⊥平面BEF，
又BE?平面BEF，∴BE⊥PA．
（Ⅱ）取AB的中点H，则由平面PAB⊥平面ABCD知PH⊥平面ABCD，
又PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$，${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×4×2$=4，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PH=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
由（Ⅰ）知PA⊥平面BCEF，FC?平面BCEF，∴PA⊥FC，
又FC=BE=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2=\sqrt{7}$，
设点D到平面PAC的距离为d，
由V_P-ACD=V_D-PAC，得$\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d$，
解得d=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．