Question

17．已知函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$是奇函数，求实数a满足的条件．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义建立了方程关系进行求解即可．

解答 解：要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-a≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥a}\end{array}\right.$，
∵f（-x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$=f（x），
∴若函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-a}$是奇函数，
则函数f（x）既是奇函数也是偶函数，
则f（x）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}=0}\\{{x}^{2}-a=0}\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=1}\\{{x}^{2}=a}\end{array}\right.$，则a=1，
即要使函数f（x）是奇偶性，则a=1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用和判断，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．