Question

18．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．

Answer 1

分析 设点C到平面GEF的距离为h，由题意利用等体积法可得 V_C-GEF=V_G-CEF，由此求得h的值．

解答 解：设点C到平面GEF的距离为h，由题意可得CE=CF=$\sqrt{{BC}^{2}{+BE}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴GE=GF=$\sqrt{{CG}^{2}{+CE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{（2}^{2}{+4}^{2}）}$=2$\sqrt{6}$．
取EF的中点为M，则CM=$\frac{3}{4}$AC=$\frac{3}{4}$•4$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，∴GM=$\sqrt{{CG}^{2}{+CM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+18}$=$\sqrt{22}$．
∵V_C-GEF=V_G-CEF，∴$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•EF•GM）•h=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•EF•CM）•CG，
即 GM•h=CM•CG，即 $\sqrt{22}$•h=3$\sqrt{2}$•2，求得 h=$\frac{6\sqrt{11}}{11}$，
即点C到平面GEF的距离为$\frac{6\sqrt{11}}{11}$，
故答案为：$\frac{6\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题主要考查空间距离的求法，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．