Question

7．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的点P的个数为12；若满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得点P是以2c=2$\sqrt{3}$为焦距，以a$\sqrt{5}$1为长半轴，$\sqrt{2}$为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．
（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长小于$\sqrt{2}$，求出m的范围．

解答 解：∵正方体的棱长为2，
∴BD₁=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$，
∴点P是以2c=2$\sqrt{3}$为焦距，以a=$\sqrt{5}$为长半轴，以$\sqrt{2}$为短半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．
∴满足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的点P的个数为12个．
（2）∵满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数为6，
∴|PB|+|PD₁|=m＞|BD₁|=2$\sqrt{3}$，∴m＞2$\sqrt{3}$，
∵正方体的棱长为2，∴正方体的面的对角线的长为2$\sqrt{2}$，
∵点P的个数为6，∴b＜$\sqrt{2}$，
∵短半轴长b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$，∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$$＜\sqrt{2}$，解得m＜2$\sqrt{5}$．
∴m的取值范围是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．
故答案为：12，（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查满足条件的点的个数的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．