Question

17．已知P为圆M：（x+2）²+y²=4上的动点，N（2，0），线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由中垂线的性质可知|QN|=|PQ|，故而||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2，所以Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线．

解答 解：∵Q在PN的中垂线上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2，
∴Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线．
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{2a=2}\end{array}\right.$，又∵a²+b²=c²，∴a²=1，b²=3，
∴点Q的轨迹方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查了双曲线的定义，属于基础题．