Question

9．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于3？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，利用椭圆定义及性质列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=$\frac{3}{2}x+t$，与椭圆联立得到3x²+3tx+t²-12=0，由此利用根的判别式、点到直线距离公式能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵点F（2，0）为椭圆C的右焦点，∴左焦点为F₁（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{2a=|AF|+|A{F}_{1}|=3+5=8}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2，
又a²=b²+c²，所以b²=12，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=$\frac{3}{2}x+t$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得3x²+3tx+t²-12=0，
∵直线l与椭圆C有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，
解得-4$\sqrt{3}$$≤t≤4\sqrt{3}$，
另一方面，由直线OA与l的距离d=3，得$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}$=3，
解得t=±$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
∵$±\frac{\sqrt{39}}{2}$∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]，
∴符合题意的直线l为y=$\frac{3}{2}x±\frac{\sqrt{39}}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查符合条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、点到直线距离公式的合理运用．