Question

5．如图⊙O是Rt△ABC的外接圆，E、F是AB，BC上的点，且A，E，F，C四点共圆，延长BC至D，使得AC•BF=AD•BE．
（1）证明：DA是⊙O的切线；
（2）若AF•AB=1：$\sqrt{2}$，试求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

Answer 1

分析 （1）证明：∠ACD=∠BEF，∠DAC=∠FBE，进而证明∠DAB=90°，即可证明DA是⊙O的切线；
（2）由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，利用AF：AB=1：$\sqrt{2}$，即可求过点A、E、F、C的圆的面积与⊙O的面积之比．

解答 （1）证明：由题意知∠ACD=90°，
∵A，E，F，C四点共圆，∴∠BEF=90°，即∠ACD=∠BEF．
又∵AC•BF=AD•BE，∴△ADC∽△BFE．
∴∠DAC=∠FBE．
∵∠FBE+∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，
即∠DAB=90°，∴DA是⊙O的切线．…（5分）
（2）解：由（1）知AF为过A，E，F，C四点的圆的直径，
∵AF：AB=1：$\sqrt{2}$．∴AF²：AB²=1：2．
即过点A，E，F，C的圆的面积与⊙O的面积之比为1：2．…（10分）

点评 本题考查圆的切线的证明，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．