Question

8．已知三棱锥S-ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为$\sqrt{3}$，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．

解答 解：∵三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，
∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，
∵该三棱锥外接球的半径为$\sqrt{3}$，
∴正方体的体对角线长为2$\sqrt{3}$，
∴球心到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴点Q到平面ABC的距离的最大值为$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．