Question

11．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A₁D₁，BB₁的中点．
（1）画出过M，N，P三点的平面与平面A₁B₁C₁D₁的交线以及与平面BB₁C₁C的交线；
（2）设过M，N，P三点的平面与B₁C₁交于Q，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB₁与底面ABCD的交线AB上，连接NK交BC与Q，与平面BB₁C₁C的交线是PQ．
（2）根据（1）得到的交线PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．

解答 解：（1）如图所示：∵MP?平面ABB₁，
∴MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB₁与底面ABCD的交线AB上，
∴过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线是NK，（K在线段AB的延长线上），与平面BB₁C₁C的交线是PQ（Q在线段BC上）．∵BK∥A₁B₁，
∴$\frac{BK}{{MB}_{1}}$=$\frac{BP}{{PB}_{1}}$=1，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴$\frac{BK}{AK}$=$\frac{BQ}{AN}$=$\frac{1}{3}$，
∴BQ=$\frac{4}{3}$．
（2）由（1）可知：BQ=$\frac{4}{3}$，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ=$\sqrt{{4}^{2}{+（\frac{4}{3}）}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平面与平面的交线及交线长等问题，正确画出交线是解决问题的关键．