Question

2．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA₁⊥面A₁B₁C₁，正视图是边长为2正方形．
（Ⅰ）画出该三棱柱的侧视图，并求其侧视图的面积；
（Ⅱ）求点B₁到面ABC₁的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；
（Ⅱ）利用等体积转化，求点B₁到面ABC₁的距离．

解答 解：（Ⅰ）三棱柱的侧视图如图所示
∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，
作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，
∴等边三角形的高为$\sqrt{3}$，
由题意知侧视图是一个高为2，宽为$\sqrt{3}$的矩形，
∴侧视图的面积为2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）设点B₁到面ABC₁的距离为h，则
△ABC₁中，AB=2，AC₁=BC₁=2$\sqrt{2}$，面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{8-1}$=$\sqrt{7}$，
由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{7}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$，∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴点B₁到面ABC₁的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题是中档题，考查点B₁到面ABC₁的距离，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．