Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）点B₁到平面ACC₁A₁的距离为d₁，点A₁到平面ABC₁的距离为d₂，求$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，由此能证明BC₁⊥平面ABC．
（2）由${V}_{{C}_{1}-ABC}={V}_{{B}_{1}-AO{C}_{1}}$，得点B₁到平面ACC₁A₁的距离为${d}_{1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，点A₁到平面ABC₁的距离即B₁到平面ABC₁的距离，由此能求出$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$．

解答 证明：（1）∵侧面AB⊥BB₁C₁C，BC₁?侧面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得$B{{C}_{1}}^{2}=B{C}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}$-2BC•CC₁•cos∠BCC₁=$1+4-2×1×2×cos\frac{π}{2}$=3，
∴$B{C}_{1}=\sqrt{3}$，∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴BC⊥BC₁，
∵BC∩AB=B，∴BC₁⊥平面ABC．
解：点B₁连化为点N，${V}_{{C}_{1}-ABC}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，${S}_{△AO{C}_{1}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
又${V}_{{C}_{1}-ABC}={V}_{{B}_{1}-AO{C}_{1}}$，
∴点B₁到平面ACC₁A₁的距离为${d}_{1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
点A₁到平面ABC₁的距离即B₁到平面ABC₁的距离，
由题意B₁C₁⊥平面ABC₁，∴d₂=B₁C₁=1．
∴$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．