Question

18．函数f（x）=log_a（1-$\frac{a}{x}$）在（$\frac{1}{2}$，2）上是减函数，求实数a的范围．

Answer 1

分析 先将函数f（x）=log_a（2-ax）转化为y=log_at，t=1-$\frac{a}{x}$，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．

解答 解：令y=loga^t，t=1-$\frac{a}{x}$，
（1）若0＜a＜1，则y=log_at是减函数，
由题设知t=1-$\frac{a}{x}$为增函数，
则：t′=$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
需a＞0，且1-$\frac{a}{x}$＞0，x∈（$\frac{1}{2}$，2），
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
（2）若a＞1，则函数y=log_at是增函数，则t=1-$\frac{a}{x}$为减函数，
则：t′=$\frac{a}{{x}^{2}}$＜0，
需a＜0，无解．
综上可得实数a 的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查了复合函数的单调性，考查了导数的应用，对数的图象和性质，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，属于中档题．