Question

8．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
（1）设b_n=2ⁿa_n，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，即有b_n+1=b_n+1，由等差数列的定义即可得证；
（2）求得a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}{a}_{n}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
可得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
即有b_n+1=b_n+1，
则数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）由（1）可得b_n=1+n-1=n，
即2ⁿa_n=n，即有a_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则前n项和S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查构造法和数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．