Question

18．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且$f（{\sqrt{3}}）=0$，则不等式x[f（x）-f（-x）]＜0的解集为（　　）

• A． $（{-\sqrt{3}，0}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$
• B． $（{-\sqrt{3}，0}）∪（{0，\sqrt{3}}）$
• C． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{0，\sqrt{3}}）$
• D． $（{-∞，-\sqrt{3}}）∪（{\sqrt{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 根据条件可以得到f（x）在（-∞，0）上为增函数，且$f（-\sqrt{3}）=0$，f（x）为奇函数，便有f（-x）=-f（x），从而不等式x[f（x）-f（-x）]＜0可变成xf（x）＜0，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，根据f（x）的单调性便可解出这两个不等式组，从而便求出原不等式的解集．

解答 解：f（x）为奇函数，在（0，+∞）上为增函数；
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数；
∵f（$\sqrt{3}$）=0，∴$f（-\sqrt{3}）=0$；
由x[f（x）-f（-x）]＜0得，2xf（x）＜0；
∴xf（x）＜0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$；
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞f（-\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；
根据f（x）的单调性解得$0＜x＜\sqrt{3}$，或$-\sqrt{3}＜x＜0$；
∴原不等式的解集为$（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$．
故选：B．

点评 考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，两个因式乘积的不等式转化成不等式组求解的方法，根据增函数的定义解不等式的方法．