Question

8．在圆x²+y²-2x-6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（　　）

• A． $80\sqrt{5}$
• B． $60\sqrt{5}$
• C． $40\sqrt{5}$
• D． $20\sqrt{5}$

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y-3）²=25，
则圆心坐标为（1，3），半径为5，
根据题意画出图象，如图所示：
由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=$\sqrt{5}$，
所以BD=2BE=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$，
所以|AC|•|BD|=10•4$\sqrt{5}$=40$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．