Question

19．如图，四边形ABCD为正方形，四边形AEFD为梯形，FD∥EA，FD⊥平面ABCD，FD=2EA=2AD．
（Ⅰ）证明：平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的判定可证EF⊥平面DCE，即可证明平面EFC⊥平面DCE；
（II）建立坐标系，利用向量法求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．

解答 （I）证明：由已知：FD⊥平面ABCD，∴FD⊥CD．
∵CD⊥AD，AD∩FD=D，
∴CD⊥平面AEFD，∴EF⊥CD，
设FD=2EA=2AD=2，∴DE=EF=$\sqrt{2}$，
∴DF²=DE²+EF²，
∴EF⊥ED，
∵CD∩ED=D，∴EF⊥平面DCE，
∵EF?平面EFC，
∴平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）解：以DA，DF，DC为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，设AD=1，则D（0，0，0），B（1，0，1），E（1，1，0），C（0，0，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值=|$\frac{1-1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$|=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．