Question

7．已知等差数列{a_n}，公差为2，的前n项和为S_n，且a₁，S₂，S₄成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1））由a₁，S₂，S₄成等比数列得${S_2}^2={a_1}{S_4}$．化简解得a₁，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1））由a₁，S₂，S₄成等比数列得${S_2}^2={a_1}{S_4}$．
化简得${（2{a_1}+d）^2}={a_1}（4{a_1}+6d）$，又d=2，解得a₁=1，
故数列{a_n}的通项公式${a_n}=1+2（n-1）=2n-1（n∈{N^*}）$…（5分）
（2）∵${b_n}=\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$∴由（1）得${b_n}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴${T_n}=（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}（n∈{N^*}）$…（10分）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．