Question

4．命题p：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函数，命题q：复数z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，如果命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的单调性判断出p为真时m的范围，根据复数的意义判断出q为真时m的范围，取交集即可．

解答 解：p：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函数，
∴f′（x）=x²-（8m-2）x+15m²-2m-7≥0恒成立，
∴△=（8m-2）²-4（15m²-2m-7）≤0，解得：2≤m≤4
∴p为真时：2≤m≤4；
q：复数z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m+1＞0}\\{{m}^{2}-3m＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜m＜3，
∴q为真时：0＜m＜3，
∴P真q真时：$\left\{\begin{array}{l}{2≤m≤4}\\{0＜m＜3}\end{array}\right.$，
∴2≤m＜3．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数的单调性问题，复数问题，是一道基础题．