Question

3．已知向量$\overrightarrow a，\;\overrightarrow b，\;\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a=（{1，\;2}）$．
（1）若$|{\overrightarrow c}|=2\sqrt{5}$，且向量$\overrightarrow c$与向量$\overrightarrow a$反向，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若$|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，且$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow c=λ\overrightarrow a=（{λ，2λ}）（λ＜0）$，根据模长关系列方程解出λ；
（2）将$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$展开求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式计算．

解答 解：（1）设$\overrightarrow c=λ\overrightarrow a=（{λ，2λ}）（λ＜0）$∵$|{\overrightarrow c}|=\sqrt{{λ^2}+4{λ^2}}=\sqrt{5{λ^2}}=1$∴$λ=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴$\overrightarrow c=（{-\frac{{\sqrt{5}}}{5}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$|{\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，∴$\overrightarrow{a}$²=5，$\overrightarrow{b}$²=$\frac{5}{4}$．
∵$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=\frac{15}{4}$，∴2$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=$\frac{15}{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{15}{4}$，∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{5}{4}$．
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|}}=-\frac{1}{2}$，∴$θ=\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长计算，属于基础题．