Question

15．在半径为R的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比V_圆柱：V_球的比值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，可得R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，得到圆柱体积最大时的底面半径的值，即可求出V_圆柱：V_球．

解答 解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，则R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，
∴R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$r²+$\frac{1}{2}$r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$≥3$\root{3}{\frac{1}{16}{r}^{4}{h}^{2}}$，
∴r²h≤$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$
∴圆柱的体积V=πr²h≤$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$
当且仅当r²=$\frac{1}{2}$h²，即h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R时，V取最大值$\frac{4}{9}\sqrt{3}{R}^{3}$．
∵V_球=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
∴V_圆柱：V_球=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R²=r²+d²．