Question

5．已知f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）
（1）若0≤θ≤π，求θ，使函数f（x）是偶函数；
（2）在（1）成立的条件下，求满足f（x）=1，其中x∈[-π，π]的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式和三角函数的奇偶性可知θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
（2）由f（x）=1得出x的取值集合，

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）是偶函数．∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得：θ=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
∵0≤θ≤π，∴当k=0时，θ=$\frac{π}{6}$．故当θ=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）为偶函数．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x=1．∴cos2x=$\frac{1}{2}$，∴2x=±$\frac{π}{3}$+2kπ，∴x=±$\frac{π}{6}$+kπ．k∈Z．
∵x∈[-π，π]，∴x=-$\frac{5π}{6}$或x=-$\frac{π}{6}$或x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$．∴x的取值集合为{-$\frac{5π}{6}$，$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$}．

点评 本题考查正弦函数整体思想和奇偶性的应用，以及相关的运算问题．