Question

16．已知所敖f（x）=ln（e^x+a+3）（a为常数）是实数集R上的奇函数．
（1）若关于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}$=x²-2ex+m有且只有一个实数根，求m的值；
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx在区间[-1，1]]上是减函数，且g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是在R上的奇函数，f（0）=0，可求出a的值，构造函数，求出函数的最值，比较最值之间的关系，即可得到结论．
（2）利用g（x）在[-1，1]上单调递减，则导数小于等于0，由此可求λ的范围．要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1时恒成立即可．进而求出实数t的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a+3）是实数集R上奇函数，
∴f（0）=0，
即ln（e⁰+a+3）=0得4+a=1，得a=-3…（2分）．
将a=-3带入f（x）=lne^x=x，显然为奇函数．          
由方程$\frac{lnx}{f（x）}$=x²-2ex+m，得$\frac{lnx}{x}={x^2}-2ex+m$，
令${f_1}（x）=\frac{lnx}{x}，{f_2}（x）={x^2}-2ex+m$
∵$f{'_1}（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$
当x∈（0，e]时，f′₁（x）≥0，
∴f₁（x）在（0，e]上为增函数；
当x∈[e，+∞）时，f′₁（x）≤0，
∴f₁（x）在[e，+∞）上为减函数；
当x=e时，${f_1}{（x）_{max}}=\frac{1}{e}$．     
而${f_2}（x）={x^2}-2ex+m={（x-e）^2}+m-{e^2}$
当x∈（0，e]时f₂（x）是减函数，当x∈[e，+∞）时，f₂（x）是增函数，
∴当x=e时，${f_2}{（x）_{min}}=m-{e^2}$． 
只有当$m-{e^2}=\frac{1}{e}$，即$m={e^2}+\frac{1}{e}$时，方程有且只有一个实数根．
（2）∵f（x）=x，
∴g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，
∴g′（x）=λ+cosx，x∈[-1，1]
∴要使g（x）是区间[-1，1]上的减函数，
则有g′（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，
∴λ≤（-cosx）_min，
即λ≤-1．            
要使g（x）≤λt-1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤λt-1在λ≤-1时恒成立即可．
∴（t+1）λ+sin1-1≥0（其中λ≤-1）恒成立即可．
令h（λ）=（t+1）λ+sin1-1（λ≤-1），
则$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\ h（-1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}t+1≤0\\-t-2+sin1≥0\end{array}\right.$
∴t≤sin1-2，
所以实数的最大值为sin1-2．

点评 本题考查函数的单调性以及函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．