Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且$\overrightarrow{BP}$$∥\overrightarrow{PF}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x，
∵k_BF=-$\frac{b}{c}$，
∴-$\frac{b}{c}•\frac{b}{a}$=-1，
∴b²-ac=0，
∴c²-a²-ac=0，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定BF垂直于双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x是关键．