Question

12．已知点P是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的动点，F₁，F₂分别是椭圆C₁的左、右焦点，椭圆C₂以椭圆C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．
（1）求椭圆C₁的焦点坐标、离心率及PF₁的最大值；
（2）求椭圆C₂的方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆C₁的a，b，c，可得焦点和离心率，由椭圆上的点与焦点的距离的最大值为a+c，可得；
（2）设椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），由题意可得n=2，再由离心率公式计算即可得到所求方程．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PF₁的最大值为a+c=2+$\sqrt{3}$；
（2）设椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），
由题意可得n=a=2，e=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得m=4，
即有椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，以及椭圆的性质的运用，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．