Question

4．某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；
（2）记三个方案被选中的个数为?，试求?的期望．

Answer 1

分析 记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$从而求概率；
（2）由题意可知?的可能取值为0，1，2，3．求其概率从而求数学期望．

解答 解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=$\frac{2}{5}$，P（B）=$\frac{3}{4}$，P（C）=$\frac{1}{3}$．
（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：
①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P₁=$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{20}$．
②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P₂=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{30}$．
③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P₃=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{5}$．
以上三种情况是互斥的．因此只有两个方案被选中的概率为P=$\frac{23}{60}$．
3个方案被选中，概率为$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$，
∴三个方案至少有两个被选中的概率为$\frac{23}{60}$+$\frac{1}{10}$=$\frac{29}{60}$；
（2）由题意可知?的可能取值为0，1，2，3．
P（?=0）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$；
P（?=1）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{25}{60}$；
由（1）知P（?=2）=$\frac{23}{60}$；
P（?=3）=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$．
故E?=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{25}{60}$+2×$\frac{23}{60}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{89}{60}$．

点评 本题考查了数学期望的求法，考查概率的计算，属于中档题．