Question

6．某公司决定采用技术改造和投放广告两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3（百万元）时，每投入x（百万元） 技术改造费，增加的销售额y₁满足y₁=-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百万元）；每投入x（百万元） 广告费用，增加的销售额y₂满足y₂=-2x²+14x（百万元）．现该公司准备共投入3（百万元），分别用于技术改造投入和广告投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．（注：收益=销售额-投入，答案数据精确到0.01）（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．

解答 解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3-x（百万元），…（1分）
则广告收入带来的销售额增加值为-2（3-x）²+14（3-x）（百万元），
技术改造投入带来的销售额增加值为-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百万元），…（3分）
所以，投入带来的收益F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x-3．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+21，…（6分）
因为F′（x）=-x²+3，
令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
当x∈[0，$\sqrt{3}$），F′（x）＞0，当x∈（$\sqrt{3}$，3]时，F′（x）＜0，…（10分）
所以，x=$\sqrt{3}$≈1.73时，F（x）取得最大值．…（11分）
所以，当该公司用于广告投入1.27（百万元），用于技术改造投入1.73（百万元）时，公司将获得最大收益．…（12分）

点评 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．