Question

4．在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA=2AB=4，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能证明BC⊥PB．
（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面PBC的距离．

解答 证明：（1）∵底面ABC为直角三角形，AB=BC，
∴BC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥PB．
解：（2）以A为原点，过A作BC的平行线为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，4），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，1，0），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，4），$\overrightarrow{BC}$=（2，0，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴点D到平面PBC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．