Question

11．已知点A、B为单位圆O上的两点，点P为单位圆0所在平面内的一点，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$不共线．
（1）在△0AB中，点P在AB上，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，若$\overrightarrow{AP}$=r$\overrightarrow{OB}$+s$\overrightarrow{OA}$，求r+s的值；
（2）如图，点P满足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$（m为常数），若四边形OABP为平行四边形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{AP}$，根据平面向量的基本定理求出r，s；
（2）建立平面直角坐标系，求出各点坐标，根据$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$列出方程解出m．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$，∵$\overrightarrow{AP}$=r$\overrightarrow{OB}$+s$\overrightarrow{OA}$，∴r=$\frac{2}{3}$，s=-$\frac{2}{3}$．∴r+s=0．
（2）以OA所在直线为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，则O（0，0），A（1，0），
设B（cosθ，sinθ），则P（cosθ-1，sinθ）．
∴$\overrightarrow{OP}$=（cosθ-1，sinθ），$\overrightarrow{OA}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）．
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ-1=m+cosθ}\\{sinθ=sinθ}\end{array}\right.$，解得m=-1．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的线性运算的几何意义，属于基础题．