Question

2．求下列函数的单调区间：
（1）y=3x-x³；
（2）f（x）=x³-$\frac{{x}^{2}}{2}$-2x+5；
（3）f（x）=2x²-lnx．
（4）y=2x²-5x+4．

Answer 1

分析 根据导数与函数单调性的关系求出单调区间．

解答 解：（1）y′（x）=3-3x²，令3-3x²=0得x=-1或x=1．
∴当x＜-1或x＞1时，y′＜0，当-1＜x＜1时，y′＞0．
∴y=3x-x³的增区间是[-1，1]，减区间是（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）f′（x）=3x²-x-2，令3x²-x-2=0，解得x=-$\frac{2}{3}$或x=1．
∴当＜-$\frac{2}{3}$或x＞1时，f′（x）＞0，当-$\frac{2}{3}$＜x＜1时，f′（x）＜0．
∴f（x）=x³-$\frac{{x}^{2}}{2}$-2x+5的增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞），减区间是（-$\frac{2}{3}$，1）．
（3）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$，令4x-$\frac{1}{x}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴当0＜x$＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，当x$＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）=2x²-lnx的增区间是（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间是（0，$\frac{1}{2}$）．
（4）y=2x²-5x+4的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{5}{4}$．
∴y=2x²-5x+4的增区间是（$\frac{5}{4}$，+∞），减区间是（-∞，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，属于基础题．