Question

14．在等比数列{a_n}中，n∈N^*，公比0＜q＜1，且a₃+a₆=9，又a₄与a₅的等比中项为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=6-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式
（Ⅲ）设T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₄与a₅的等比中项为2$\sqrt{2}$，可得a₄a₅=$（2\sqrt{2}）^{2}$，由等比数列的性质可得：a₄a₅=8=a₃a₆，又a₃+a₆=9，公比0＜q＜1，联立解得a₃，a₆．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=6-log₂a_n=n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（III）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）由a₄与a₅的等比中项为2$\sqrt{2}$，∴a₄a₅=$（2\sqrt{2}）^{2}$，
由等比数列的性质可得：a₄a₅=8=a₃a₆，
又a₃+a₆=9，公比0＜q＜1，
联立解得a₃=8，a₆=1．
a₆=${a}_{3}{q}^{3}$，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=a₃q^n-3=8×$（\frac{1}{2}）^{n-3}$=2^6-n．
（II）b_n=6-log₂a_n=n，
数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（III）由（II）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．