Question

12．已知集合M={m+i（4-m）²（m∈R），3}，和集合N={5i，2cosx+i（λ+3sinx）（λ∈R，x∈R），（其中i为虚数单位）．若满足M∩N⊆M，M∩N≠∅，求实数λ的最大值和最小值．

Answer 1

分析 得到m+（4-m²）i=2cos x+（λ+3sin x）i，由复数相等的条件得$\left\{\begin{array}{l}{m=2cosx}\\{4{-m}^{2}=λ+3sinx}\end{array}\right.$，表示出λ，结合三角函数的性质求出λ的范围即可．

解答 解：若M∩N⊆M，M∩N≠∅，
所以m+（4-m²）i=2cos x+（λ+3sin x）i，
由复数相等的条件得$\left\{\begin{array}{l}{m=2cosx}\\{4{-m}^{2}=λ+3sinx}\end{array}\right.$，
所以λ=4-m²-3sinθ，
=4-4cos²x-3sinx，
=4${（sinx-\frac{3}{8}）}^{2}$-$\frac{9}{16}$，
因为-1≤sinθ≤1．
所以当sinx=$\frac{3}{8}$时，λ_min=-$\frac{9}{16}$，
当sinθ=-1时，λ_max=7，所以-$\frac{9}{16}$≤λ≤7．

点评 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d．特殊地，a，b∈R时，a+bi=0?a=0，b=0．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径．