Question

17．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinAsinB=sinCtanC．
（1）求$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{c}^{2}}$的值：
（2）若a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，且△ABC的面积为4，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用sinAsinB=sinCtanC，根据正、余弦定理，即可求$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{c}^{2}}$的值：
（2）若a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，求出b，sinC，利用△ABC的面积为4，求c的值．

解答 解：（1）∵sinAsinB=sinCtanC，
∴ab=$\frac{{c}^{2}•2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$，
∴a²+b²=3c²，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{c}^{2}}$=3；
（2）∵a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，a²+b²=3c²，
∴b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$c，
∴cosC=$\frac{\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{5}{2}{c}^{2}-{c}^{2}}{2•\frac{\sqrt{2}}{2}c•\frac{\sqrt{10}}{2}c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinC=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵△ABC的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$c•$\frac{\sqrt{10}}{2}$c•$\frac{1}{\sqrt{5}}$=4，
∴c=4．

点评 本题考查正、余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．