Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$．探讨$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$成立的条件．

Answer 1

分析 可看出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$中只要有一个为零向量$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$成立，而$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$都不是零向量时，根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$便可得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$，也就是$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$成立．

解答 解：①若$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}，\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=0，$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
②若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$中有一个为零向量，不妨设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，则：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0•|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|=0•|\overrightarrow{b}|=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
③若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$都不是零向量，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$得，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同；
即$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$方向相同时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$成立．

点评 考查数量积的计算公式，向量夹角的概念，不要漏了讨论$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为零向量的情况．