Question

6．若（1+x）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{2}}$）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{3}}$）ⁿ+…+（1+x${\;}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中x的系数是a_n，展开式中所有项的系数和为b_n，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，求出a_n、b_n，再求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{b}_{n}}$的值．

解答 解：（1+x）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{2}}$）ⁿ+（1+x${\;}^{\frac{1}{3}}$）ⁿ+…+（1+x${\;}^{\frac{1}{n}}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中x的系数是
a_n=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$+${C}_{n}^{3}$+…+${C}_{n}^{n}$=2ⁿ-1，
展开式中所有项的系数和为b_n=2ⁿ+2ⁿ+2ⁿ+…+2ⁿ=n•2ⁿ；
所以，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n{（2}^{n}-1）}{n{•2}^{n}}$=1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了用赋值法求二项展开式系数的应用问题，也考查了极限的计算问题，是基础题目．