Question

11．已知函数f（x）是满足f（x+2）=-f（x）的奇函数，且当0≤x＜1时，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²-1．
（1）证明：4是函数f（x）的一个周期；
（2）求当7＜x≤8时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）是满足f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），结合函数周期性的概念，可得结论；
（2）当7＜x≤8时，-1＜x-8≤0，0≤8-x＜1，又由f（x）是周期为4的奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-f（8-x），代入化简可得答案．

解答 证明：（1）∵f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故4是函数f（x）的一个周期；
（2）当7＜x≤8时，-1＜x-8≤0，0≤8-x＜1，
又∵f（x）是周期为4的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-f（8-x）=-[（8-x-$\frac{1}{2}$）²-1]=$-{x}^{2}+15x-\frac{221}{4}$

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的解析式的求法，难度中档．