Question

3．求证：
（1）sinθ-sinφ=2cos$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；
（2）cosθ+cosφ=2cos$\frac{θ+φ}{2}$cos$\frac{θ-φ}{2}$；
（3）cosθ-cosφ=-2sin$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，再由两角和差的正弦公式，化简即可得证；
（2）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，再由两角和差的余弦公式，化简即可得证；
（3）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，再由两角和差的余弦公式，化简即可得证；

解答 证明：（1）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，
即有sinθ-sinφ=sin（α+β）-sin（α-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ-sinαcosβ+cosαsinβ
=2cosαsinβ
=2cos$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；
（2）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ+cosφ=cos（α+β）+cos（α-β）
=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=2cosαcosβ
=2cos$\frac{θ+φ}{2}$cos$\frac{θ-φ}{2}$；
（3）令$\frac{θ+φ}{2}$=α，$\frac{θ-φ}{2}$=β，则θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ-cosφ=cos（α+β）-cos（α-β）
=cosαcosβ-sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ
=-2sinαsinβ
=-2sin$\frac{θ+φ}{2}$sin$\frac{θ-φ}{2}$；

点评 本题考查三角恒等式的证明，主要考查二倍角公式和两角和差的余弦公式、正弦函数公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．