Question

12．使得（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$成立的实数x为±1．

Answer 1

分析 根据复数的代数运算和对数的运算法则，化简（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$，转化为$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-9x=0}\\{3{\sqrt{3}x}^{2}-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，求出x的值即可．

解答 解：∵（x+$\sqrt{3}$i）³=log${\;}_{\sqrt{2}}$$\frac{1}{16}$=${log}_{{2}^{\frac{1}{2}}}$2^-4=$\frac{-4}{\frac{1}{2}}$=-8，
∴x³+3x²•$\sqrt{3}$i+3x•${（\sqrt{3}i）}^{2}$+${（\sqrt{3}i）}^{3}$=-8，
即（x³-9x）+（3$\sqrt{3}$x²-3$\sqrt{3}$）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-9x=0}\\{3{\sqrt{3}x}^{2}-3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得x=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了复数的代数运算和对数的运算法则与应用问题，也考查了计算能力与逻辑推理能力的应用问题，是基础题目．