Question

17．已知在关于x的不等式log_a（x²-4）＞log_a（6x-13a）（0＜a＜1）的解集中，有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是[$\frac{9}{13}$，$\frac{12}{13}$）．

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：∵0＜a＜1，
∴由log_a（x²-4）＞log_a（6x-13a）得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4＞0}\\{6x-13a＞0}\\{{x}^{2}-4＜6x-13a}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2或x＜-2}\\{x＞\frac{13a}{6}}\\{{x}^{2}-6x-4＜-13a}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞\frac{13a}{6}}\\{3-\sqrt{13-13a}＜x＜3+\sqrt{13-13a}}\end{array}\right.$，
要使不等式组有且只有两个整数解，
则这两个整数只能是3和4，
则4＜3+$\sqrt{13-13a}$≤5，
即1＜$\sqrt{13-13a}$≤2，
平方得1＜13-13a≤4，
得$\frac{9}{13}$≤a＜$\frac{12}{13}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{9}{13}$，$\frac{12}{13}$），
故答案为：[$\frac{9}{13}$，$\frac{12}{13}$）

点评 本题主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性进行转化是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．