Question

10．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，PA垂直于⊙O所在的平面ABC
（I）证明：平面PAC丄平面PBC；
（Ⅱ）设PA=$\sqrt{3}$，AC=1，求三棱锥A-PBC的高．

Answer 1

分析 （1）由直径性质得BC⊥AC，由线面垂直得PA⊥BC，由此能证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）过点A作PC的垂线，垂足为D，由已知得AD为三棱锥A-PBC的高，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又∵PA⊥⊙O所在平面，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC，∴PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PCB，∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）由（1）的结论平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴过点A作PC的垂线，垂足为D，则AD为三棱锥A-PBC的高，
在Rt△PAC中，PA=$\sqrt{3}$，AC=1，∴PC=2，
由AD×PC=PA×AC，得AD=$\frac{PA×AC}{PC}=\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱锥A-PBC的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．