Question

18．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为1，$\sqrt{3}$；另一块三角板的两条直角边的长均为$\sqrt{3}$，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成90°的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于2或$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，直角△CBD中，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，由此求出不重合的两个顶点间的距离；②直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，直角△CBD中，BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，由此求出不重合的两个顶点间的距离．由此能求出结果．

解答 解：∵有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为1，$\sqrt{3}$，
另一块三角板的两条直角边的长均为$\sqrt{3}$，
这两块三角板有两对顶点重合，且构成90°的二面角，
∴如图一：直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
直角△CBD中，BC=BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，
且平面ABC⊥平面BCD，
∴AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，
∴不重合的两个顶点间的距离AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2；
如图二：直角△ABC中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
直角△CBD中，BC=CD=$\sqrt{3}$，∠BCD=90°，
且平面ABC⊥平面BCD，
∴$BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，AB⊥平面BDC，∴AB⊥BD，
∴不重合的两个顶点间的距离AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+6}$=$\sqrt{7}$．
综上，不重合的两个顶点间的距离等于2或$\sqrt{7}$．
故答案为：2或$\sqrt{7}$．

点评 本题考查两顶点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．