Question

6．已知△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M为AB中点，将△CBM沿CM折起，使二面角B-CM-A的大小为$\frac{π}{3}$，则AB=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作出平面图形，然后找出二面角的平面角，通过三角形的解法求解AB．

解答 解：△ABC中，∠C=$\frac{π}{2}$，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=2，M是AB的中点，三角形ACM是正三角形，
取CM的中点为：O，连结AO并延长交CB于D，可知AO⊥CM，OD⊥CM，
则AC=AM=CM=MB=2，CO=OM=1，CB=2$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
沿直线CM将CBM折起，在折叠后的图形中，
∵AO⊥CM，OD⊥CM，
∴∠AOD就是二面角B-CM-A的平面角，可知α=$\frac{π}{3}$．
∴AD=$\sqrt{3+\frac{1}{3}-2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴cos∠ACD=$\frac{4+\frac{4}{3}-\frac{7}{3}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$
∴AB=$\sqrt{4+12-2×2×2\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{3}}{8}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用，考查计算能力．