Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为对角线BD₁上靠近B的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO，由P是BD₁的三等分点，推导出PB≠PD₁≠PB₁≠PD，从而得到点P到正方体的顶点的不同距离有4个．

解答 解：如图，取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO．∵AC⊥平面DD₁B，
又PO?平面DD₁B，∴AC⊥PO．
又O是AC的中点，∴PA=PC．
同理，取B₁C与BC1的交点H，则B₁C⊥平面D₁C₁B，
∴B₁C⊥PH．又H是B1C的中点，∴PB₁=PC，
∴PA=PB₁=PC．
同理可证PA₁=PC₁=PD．
又P是BD₁的三等分点，
∴PB≠PD₁≠PB₁≠PD，
故点P到正方体的顶点的不同距离有4个．
故选：B．

点评 本题题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．