Question

5．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点（0，$\sqrt{2}$）是椭圆与y轴的一个交点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于是第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点；
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的取值范围；
②当点A，B在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由椭圆性质求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，与椭圆联立，得x²+2tx+2t²-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式求出四边形APBQ面积的取值范围．
②当∠APQ=∠BPQ时，设直线PA的方程为y-1=k（x-2），则直线PB的方程为y-1=-k（x-2），分别与椭圆方程联立，利用韦达定理能求出直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由题意可知，$b=\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{a^2}={b^2}+{c^2}$，解得，$a=2\sqrt{2}$，…（3分）
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x+t$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+t}\end{array}}\right.$，消y可得，2x²+4tx+4t²-8=0，即x²+2tx+2t²-4=0，
则有${x_1}+{x_2}=-2t，{x_1}{x_2}=2{t^2}-4$，…（6分）
对于$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$，令x=2，得P（2，1），Q（2，-1），
将P，Q分别代入直线可得，t=0，t=-2，
由点A，B在直线x=2的两侧，故-2＜t＜0，
四边形APBQ的面积为：
$S={S_{△APQ}}+{S_{△BPQ}}=\frac{1}{2}|PQ|•|{x_2}-{x_1}|$
=$\frac{1}{2}×2×|{x_2}-{x_1}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{4{t^2}-4（2{t^2}-4）}=\sqrt{-4{t^2}+16}$，
而-2＜t＜0，所以，0＜S_{四边形APBQ}＜4．…（9分）
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA，PB的斜率之和为0，
不妨设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y+1-2k=0，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y+1-2k=0}\\{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消y可得，（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
所以${x_1}+2=\frac{8k（2k-1）}{{1+4{k^2}}}$，…（11分）
同理直线PB的方程为y-1=-k（x-2）
可得，${x_2}+2=\frac{-8k（-2k-1）}{{1+4{k^2}}}=\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$，…（12分）
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}，{x_1}-{x_2}=\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}$，
故${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k（{x_1}-2）+1+k（{x_2}-2）-1}}{{{x_1}-{x_2}}}$=$\frac{{k（{x_1}+{x_2}）-4k}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{k•\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}-4k}}{{\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}}}=\frac{1}{2}$，
∴直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的取值的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．