Question

15．已知函数$f（x）={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）-G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．是否存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）容易判断f（x）的定义域为R，且可得出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）在R上为奇函数；
（2）可以求出${f}^{-1}（x）=\frac{1}{2}（{a}^{x}-\frac{1}{{a}^{x}}）$，从而得到$|{f}^{-1}（x）-g（x）|=\frac{1}{2}（{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}）$，可假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离，即有${a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}＞4$在闭区间[1，2]上恒成立．可令$h（x）={a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}$，设a^x=t，t∈[a，a²]，讨论a：a＞1时，t=a^x为增函数，并且$y=t+\frac{1}{t}$为增函数，从而得出h（x）在[1，2]上为增函数，从而得到h（x）的最小值h（1）=$a+\frac{1}{a}＞4$，解该不等式即可得出a的一个范围；而同理可得出0＜a＜1时的a的一个范围，这两个范围求并集即为实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{x^2}+1}+x＞\sqrt{x^2}+x≥0$；
∴f（x）的定义域为R；
∵$f（-x）={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}-x）$=${log_a}\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+1}+x}}=-{log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）=-f（x）$；
即f（-x）=-f（x）；
∴f（x）为R上的奇函数；
（2）∵x∈R，∴y∈R；
由$y={log_a}（\sqrt{{x^2}+1}+x）$得${a^y}=\sqrt{{x^2}+1}+x$；
∴$\sqrt{{x^2}+1}={a^y}-x$
两边平方整理后得：$x=\frac{1}{2}（{a^y}-\frac{1}{a^y}）$；
∴${f^{-1}}（x）=\frac{1}{2}（{a^x}-\frac{1}{a^x}），x∈R$；
∴$|{{f^{-1}}（x）-g（x）}|=\frac{1}{2}（{a^x}+\frac{1}{a^x}）$；
假设存在实数a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离；
所以|f^-1（x）-g（x）|＞2，即${a^x}+\frac{1}{a^x}＞4$在闭区间[1，2]上恒成立；
令$h（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}$，t=a^x，x∈[1，2]
当a＞1时，t=a^x在[1，2]上为增函数，t∈[a，a²]，$y=t+\frac{1}{t}$在[a，a²]上为增函数；
∴h（x）在[1，2]上为增函数；
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=a+\frac{1}{a}$；
由$a+\frac{1}{a}＞4$解得$a＞2+\sqrt{3}$或$a＜2-\sqrt{3}$，∴$a＞2+\sqrt{3}$；
当0＜a＜1时同理可得$h（x）={a^x}+\frac{1}{a^x}$在[1，2]上为增函数；
∴$h{（x）_{min}}=h（1）=a+\frac{1}{a}$；
由$a+\frac{1}{a}＞4$解得$a＞2+\sqrt{3}$或$a＜2-\sqrt{3}$；
∴$0＜a＜2-\sqrt{3}$；
综上所述：存在a使得y=f（x）的反函数y=f^-1（x）与g（x）=a^x在闭区间[1，2]上分离，且a的取值范围为$（0，2-\sqrt{3}）∪（2+\sqrt{3}，+∞）$．

点评 考查奇函数，偶函数的定义及判断方法和过程，对数的运算性质，反函数的概念，以及求一个函数的反函数的方法和过程，指数式和对数式的互化，复合函数单调的判断，指数函数的单调性，清楚$y=x+\frac{1}{x}$的单调性，一元二次不等式的解法．