Question

10．设$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$且$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$，则（　　）

• A． $3α+β=\frac{π}{2}$
• B． $2α+β=\frac{π}{2}$
• C． $3α-β=\frac{π}{2}$
• D． $2α-β=\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[$\frac{π}{2}$-（α-β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．

解答 解：∵$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$，∴$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{cosβ}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，
∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，
∴cosα=sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）
由诱导公式可得cosα=sin（α-β）=cos[$\frac{π}{2}$-（α-β）]，
∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴[$\frac{π}{2}$-（α-β）]∈（0，π），
∴α=$\frac{π}{2}$-（α-β），变形可得2α-β=$\frac{π}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．