Question

20．在极坐标中，直线l的方程为ρ（3cosθ-4sinθ）=2，曲线C的方程为ρ=m（m＞0）． 
（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；
（2）若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为$\frac{1}{5}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令θ=0，得ρ（3cos0-4sin0）=2，由此能求出直线l与极轴的交点到极点的距离．
（2）先求出直线l和曲线C的直角坐标方程，由曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为$\frac{2}{5}$，结合题设条件能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵直线l的方程为ρ（3cosθ-4sinθ）=2，
∴令θ=0，得ρ（3cos0-4sin0）=2，
∴3ρ=2，
∴直线l与极轴的交点到极点的距离ρ=$\frac{2}{3}$．
（2）直线l的直角坐标方程为3x-4y-2=0，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=m²，
曲线C表示以原点为圆心，以m为半径的圆，且原点到直线l的距离为$\frac{2}{5}$，
∵曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1}{5}＜m＜\frac{3}{5}$．
∴实数m的取值范围是（$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查直线与极轴的交点到极点的距离的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．