Question

11．如图，在四棱锥A-BCPE中，侧面PAC为正三角形，∠ACB=90°，二面角P-AC-B为直二面角，PE∥BC且$\frac{PE}{CB}$=μ（μ＞0），点M，N分别是侧棱AE、AP上的点，且$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）
（1）若λ=$\frac{1}{2}$，BC=2PC，且异面直线CM与AB所成的角为90°，求实数μ的值；
（2）若平面ABC与平面CMN所成的锐二面角为45°，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立空间直角坐标系，利用异面直线CM与AB所成的角为90°，建立垂直关系，进行求解即可．
（2）求出平面的法向量，利用二面角的大小建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）
∴MN∥PE，
若λ=$\frac{1}{2}$，则MN=$\frac{1}{2}$PE，
∵侧面PAC为正三角形，∠ACB=90°，二面角P-AC-B为直二面角，
∴取AC的中点，连接PO，则PO⊥AC，且PO⊥平面ABC，
取AB的中点F，连接OF，则OF∥BC，
则OF⊥AC，
建立以O为坐标原点，的空间直角坐标系如图：
设OA=1，则PC=AC=2，BC=2PC=4，OF=2，OP=$\sqrt{3}$，
∵$\frac{PE}{CB}$=μ，∴PE=μBC=4μ，
则A（1，0，0），C（-1，0，0），B（-1，4，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（0，4μ，$\sqrt{3}$），
则M（$\frac{1}{2}$，2μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则$\overrightarrow{AB}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{3}{2}$，2μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵异面直线CM与AB所成的角为90°，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CM}$，即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CM}$=0，
即（-2，4，0）•（$\frac{3}{2}$，2μ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=0，则-3+8μ=0，则μ=$\frac{3}{8}$．
（2）平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面CMN的一个法向量，
∵$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）
∴$\frac{NM}{PE}$=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AN}{AP}$=λ（0＜λ＜1）
即NM=λPE（0＜λ＜1），AN=λAP，
即$\overrightarrow{NM}$=λ$\overrightarrow{PE}$=λ（0，4μ，0）=（0，4λμ，0）．（0＜λ＜1）
则$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AP}$=λ（-1，0，$\sqrt{3}$）=（-λ，0，$\sqrt{3}$λ），
则N（1-λ，0，$\sqrt{3}$λ），则$\overrightarrow{CN}$=（2-λ，0，$\sqrt{3}$λ），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MN}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（2-λ）x+\sqrt{3}λz=0}\\{4λμy=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，则x=$\frac{3λ}{λ-2}$，y=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\frac{3λ}{λ-2}$，0，$\sqrt{3}$），
∵平面ABC与平面CMN所成的锐二面角为45°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\frac{3λ}{λ-2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
平方得$\frac{3}{（\frac{3λ}{λ-2}）^{2}+3}$=$\frac{2}{4}$，
即（$\frac{3λ}{λ-2}$）²+3=6，
则（$\frac{3λ}{λ-2}$）²=3，
∵0＜λ＜1，∴$\frac{3λ}{λ-2}$＜0，
∴$\frac{3λ}{λ-2}$=-$\sqrt{3}$，
解得λ=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题综合考查空间中异面直线所成的角和空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．