Question

3．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，棱PD与EC均垂直于底面ABCD，PD=2EC，N为PB的中点，求证：
（1）平面EBC∥平面PDA；
（2）NE⊥平面PDB．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直性质得EC∥PD，由四边形ABCD为正方形，得BC∥AD，由此能证明平面EBC∥平面PDA．
（2）推导出四边形NOCE为平行四边形，从而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能证明NE⊥平面PDB．

解答 证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，
又PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，…（2分）
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥AD，又AD?平面PDA，BC?平面PDA，
∴BC∥平面PDA，…（4分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，EC∩BC=C，
∴平面EBC∥平面PDA．…（6分）
（2）设AC与BD相交于点O，连接NO，
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点，又N为PB的中点，
∴NO∥PD且NO=$\frac{1}{2}$PD，
又由（1）得EC∥PD，且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NO∥EC且NO=EC，∴四边形NOCE为平行四边形，
∴NE∥OC，即NE∥A，C…（9分）
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD，
又DB⊥AC，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC，
∴NE⊥平面PDB． …（12分）

点评 本题考查面面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．