Question

10．已知椭圆的中心在原点，右准线的方程为：x=4，左焦点是F（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆上一点，过F，Q的直线l与y轴交于点M，若|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，由此能求出椭圆方程；
（Ⅱ）由|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，可得$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，或$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$，分别讨论，运用向量共线的坐标表示和椭圆方程，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{MQ}$|=2|$\overrightarrow{QF}$|，
∴$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，或$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$，
当$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$时，点Q分$\overrightarrow{MF}$的比为2，
∴x_Q=-$\frac{2}{3}$，y_Q=$\frac{k}{3}$．
又点Q在椭圆上，
代入椭圆方程，得$\frac{（-\frac{2}{3}）^{2}}{4}$+$\frac{（\frac{k}{3}）^{2}}{3}$=1，
解得k=±2$\sqrt{6}$．
当$\overrightarrow{MQ}$=-2$\overrightarrow{QF}$时，x_Q=-2，y_Q=0，此时k=0．
∴直线l的斜率为±2$\sqrt{6}$或0．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．