Question

2．已知抛物线C：y²=x，过点M（2，0）作直线l：x=ny+2与抛物线C交于A，B两点，点N是定直线x=-2上的任意一点，分别记直线AN，MN，BN的斜率为k₁，k₂，k₃．
（Ⅰ） 求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ） 试探求k₁，k₂，k₃之间的关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\left\{\begin{array}{l}x=ny+2\\{y^2}=x\end{array}\right.$可得y²-ny-2=0，再由韦达定理得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）三条直线AN，MN，BN的斜率成等差数列，证明k₁+k₃=2k₂即可．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由 $\left\{\begin{array}{l}x=ny+2\\{y^2}=x\end{array}\right.$可得  y²-ny-2=0
由韦达定理可得  y₁+y₂=n，y₁y₂=-2…（3分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=y₁²y₂²+y₁y₂=4-2=2，…（5分）
（Ⅱ）当n=0时，A（2，$\sqrt{2}$）、$B（2，-\sqrt{2}）$
不妨取N（-2，2），则k₁=$\frac{2-\sqrt{2}}{-4}$，k₂=$\frac{2}{-4}$，k₃=$\frac{2+\sqrt{2}}{-4}$
易得k₁+k₃=2k₂． …（7分）
设N（-2，y₀），k₂=-$\frac{{y}_{0}}{4}$
k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}+2}$=$\frac{{2n{y_1}{y_2}+（4-n{y_0}）（{y_1}+{y_2}）-8{y_0}}}{{{n^2}{y_1}{y_2}+4n（{y_1}+{y_2}）+16}}$=$\frac{-4n+（4-n{y}_{0}）n-8{y}_{0}}{-2{n}^{2}+4{n}^{2}+16}$=-$\frac{{y}_{0}}{2}$=2k₂
∴k₁+k₃=2k₂，k₁，k₂，k₃成等差数列． …（12分）

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．